십진수, 이진수 변환 원리

십진수에서 이진수로 변환할 때는 보통 나눗셈을 이용한다. 예를 들어 13이라는 십진수의 이진수를 구해보자.

13/2 = 6 + 1(나머지)

6/2 = 3 + 0(나머지)

3/2 = 1 + 1(나머지)

1/2 = 0 + 1(나머지)

 

일렬로 쓰면 1101이 되며, 이것이 13의 이진수가 된다.

 

이진수에서 십진수로 변환할 때는 곱셈과 덧셈을 이용한다. 예를 들아 1101을 다시 십진수로 변환해 보자.

\( 1\times 2^{3} + 1\times 2^{2} + 0\times 2^{1} + 1\times 2^{0} = 13 \)

 

100101이라는 수는 어떻게 변환할까?

\( 1\times 2^{5}  + 0\times 2^{4} + 0\times 2^{3} + 1\times 2^{2} + 0\times 2^{1} + 1\times 2^{0} = 37 \)

 

그럼 이제 원리를 알아보자. 고등학교 1학년떄 위치값 기수법이라는 것을 배운다. 이걸 이용하면 금방 이해가 가능하다. 위치값 기수법은 아래와 같은 것이다. 예를 들어서 \(b\)진수 \( d_{3}d_{2}d_{1}d_{0} \) 라는 숫자가 있다고 하자. 그러면 아래와 같은 수열로 표현이 된다.

\( d_{3}\times b^{3} + d_{2}\times b^{2} + d_{1}\times b^{1} + d_{0}\times b^{0} \)

 

좀 더 보편적으로 표현하면 아래와 같다.

\( d_{n}\times b^{n} + d_{n-1}\times b^{n-1} + ... + d_{1}\times b^{1} + d_{0}\times b^{0} \)

 

십진수와 이진수에서 어떻게 표현이 되는지 보도록 하자.

십진수 : \( d_{n}\times 10^{n} + d_{n-1}\times 10^{n-1} + ... + d_{1}\times 10^{1} + d_{0}\times 10^{0} \)

이진수 : \( d_{n}\times 2^{n} + d_{n-1}\times 2^{n-1} + ... + d_{1}\times 2^{1} + d_{0}\times 2^{0} \)

 

만약 어떤 수 A가 있다고 해보자. 그럼 아래와 같이 표현될 것이다.

\( A = a_{n}\times 10^{n} + a_{n-1}\times 10^{n-1} + ... + a_{1}\times 10^{1} + a_{0}\times 10^{0} = b_{r}\times 2^{r} + b_{r-1}\times 2^{r-1} + ... + b_{1}\times 2^{1} + b_{0}\times 2^{0} \)

 

따라서 어떤 이진수\( b_{n}b_{n-1}...b_{1}b_{0} \)이 있을 때는 십진수를 구하기 쉽다. 아까 우리가 위에서 보았던 수열을 사용하면 된다. 

\( b_{r}\times 2^{r} + b_{r-1}\times 2^{r-1} + ... + b_{1}\times 2^{1} + b_{0}\times 2^{0} = A \) 

우리가 사용하는 체계가 십진수이기 때문에, 당연히 구해진 A는 십진수이다.

 

반대로 십진수를 이진수로 변환할 때는 어떻게 해야 할까? 어떤 십진수 A가 있으면 아래와 같이 표현된다고 했다.

\( A = b_{r}\times 2^{r} + b_{r-1}\times 2^{r-1} + ... + b_{1}\times 2^{1} + b_{0}\times 2^{0} \)

여기서 각각의 b를 구하려면 나눗셈을 하면 된다. 

 

\( \frac{A}{2} = \frac{b_{r}\times 2^{r} + b_{r-1}\times 2^{r-1} + ... + b_{1}\times 2^{1} + b_{0}\times 2^{0}}{2} \)

 

\( A \)에서 한번 나눗셈을 하면, 그 나머지가 \( b_{0} \)이다. 이렇계 계속 2로 나눗셈을 하면 \( b_{1} \), \( b_{2} \)가 차례로 나올 것이다. 만약 더 이상 나눗셈을 하지 못한다면, 구한 \(b\) 일렬로 쓰면 바로 이진수로 변환이 되는 것이다.